關(guān)于和與積分

在所有數(shù)學(xué)運(yùn)算中，加法是最基本的：這是我們?cè)趯W(xué)校首先學(xué)到的。從歷史上看，它是最古老的。雖然求兩個(gè)數(shù)之和的任務(wù)很簡(jiǎn)單，但如果被加數(shù)的數(shù)量非常大，許多數(shù)之和很容易變成一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的數(shù)值問(wèn)題。

 

大的總和在自然界中經(jīng)常出現(xiàn)。例如，考慮一個(gè)由阿伏伽德羅數(shù) N ≈ 10²³ 數(shù)量級(jí)的原子組成的固體。如果我們想要計(jì)算長(zhǎng)程力，例如由于帶電粒子之間的庫(kù)侖相互作用，我們將不得不計(jì)算超過(guò) 10²³ 個(gè)被加數(shù)的總和，這在數(shù)值上是不可行的。

 

我們?nèi)绾斡行У赜?jì)算大的（甚至無(wú)限的）總和？第一次嘗試是通過(guò)積分來(lái)近似求和：

 

 

函數(shù)f（矩形）值的總和近似為積分（藍(lán)色曲線）。但是我們看到在幾何的某些部分，積分高估（綠色部分）或低估（紅色部分）總和。但是這個(gè)積分近似有多精確？它可靠嗎？我們可以改進(jìn)它嗎？

 

大約三百年前，著名數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉( Leonhard Euler)和科林·麥克勞林( Colin Maclaurin)首次嘗試回答這個(gè)基本數(shù)學(xué)問(wèn)題。他們獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了歐拉-麥克勞林求和公式（Euler-Maclaurin summation formula），該公式將總和與相關(guān)積分聯(lián)系起來(lái)，這是一個(gè)非常重要的結(jié)果，至今仍在數(shù)值實(shí)踐中使用，并在Mathematica的Nsum例程中作為EulerMaclaurin方法實(shí)現(xiàn)。公式如下：

 

 

 

這個(gè)和用一個(gè)任意偏移δ∈(0,1)的積分來(lái)近似求得。積分逼近的高階修正用求和函數(shù)在積分邊界處的導(dǎo)數(shù)來(lái)描述。這些導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是由周期伯努利函數(shù)Bk構(gòu)成的。

 

在Mathematica中，與周期伯努利函數(shù)(0,1)重合的伯努利多項(xiàng)式被實(shí)現(xiàn)為BernoulliB。我們周期性地將這些函數(shù)擴(kuò)展到實(shí)線，注意到l = 1的函數(shù)在整數(shù)處是不連續(xù)的(參數(shù)1+y - ceiling [y]的選擇使其左側(cè)極限始終存在):         

 

 

 

求和公式的收斂性由伯努利周期函數(shù)B k隨著k → ∞的漸近行為決定。我們可以通過(guò)創(chuàng)建周期性伯努利函數(shù)的最大絕對(duì)值表來(lái)快速分析這種行為：

 

 

 

上圖顯示了眾所周知的估計(jì)

 

 

 

這意味著歐拉-麥克勞林展開(kāi)式收斂的重要條件，即

 

 

 

σ < 2 π。這對(duì)應(yīng)于在傅立葉空間中具有足夠小的帶寬的帶限函數(shù)f。如果函數(shù)f包含一個(gè)代數(shù)奇點(diǎn)，例如f ( y ) = | 是| -v，然而，導(dǎo)數(shù)規(guī)模為

 

 

 

并且擴(kuò)展的其余部分發(fā)散為k → ∞。

 

我們可以使用 Mathematica 的Asymptotic函數(shù)驗(yàn)證奇異相互作用的漸近尺度：

 

 

因此，如果被加函數(shù)包括奇點(diǎn)，則擴(kuò)展的用途有限。您可能會(huì)問(wèn)，“我們?yōu)槭裁匆P(guān)心奇異函數(shù)？這些功能是否具有足夠高的實(shí)際相關(guān)性，以至于我們應(yīng)該擔(dān)心它們？” 事實(shí)證明，它們具有足夠高的實(shí)際相關(guān)性。

 

基本力的小故事

據(jù)我們所知，物理學(xué)中有四種基本力。在這四種中，有兩種是長(zhǎng)程的，即電磁相互作用和引力相互作用。（我們暫時(shí)不會(huì)考慮弱相互作用和強(qiáng)相互作用，因?yàn)樗鼈冎蛔饔糜诤顺叨取＃┻@些力不僅隨距離緩慢衰減，而且還是奇異的。由距離-y尺度分隔的兩個(gè)粒子的引力相互作用和靜電能V為

 

 

 

并且各自的力F遵循平方反比定律：

 

 

 

因此，如果兩個(gè)粒子無(wú)限接近，勢(shì)能和合力都會(huì)發(fā)散。從這些基本的相互作用中，可以產(chǎn)生更一般的相互作用，例如

 

 

 

例如，其中v = 3 描述了磁性粒子之間的偶極相互作用。

 

在自然界中，我們很少處理少量的粒子（原子或分子）。在大多數(shù)情況下，例如在凝聚態(tài)系統(tǒng)中，手頭的系統(tǒng)是由非常非常多的粒子形成的。粒子之間的相互作用創(chuàng)造了整體固體的特性。然而，如果我們想計(jì)算固體中的力，我們必須評(píng)估這種類型的總和（例如在 1D 中）

 

 

 

其中u描述了粒子從具有相等最近鄰距離的晶體的位移。如果粒子數(shù)N很大，計(jì)算這個(gè)總和是一項(xiàng)非常艱巨的任務(wù)，即使位移函數(shù)u是已知的?，F(xiàn)在很自然地嘗試通過(guò)積分來(lái)近似求出這個(gè)復(fù)雜的力和，并通過(guò)歐拉-麥克勞林展開(kāi)式寫出有限大小的修正。然而不幸的是，F(xiàn)是奇異的，因此歐拉-麥克勞林求和中的誤差項(xiàng)發(fā)散。這最終會(huì)導(dǎo)致不受控制的錯(cuò)誤，并且通常會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的近似。歐拉-麥克勞林展開(kāi)法是一種已有三百年歷史的可靠的大型數(shù)值分析工具，在試圖處理出現(xiàn)在現(xiàn)代物理學(xué)中的總和時(shí)，它達(dá)到了極限。我們需要的是一個(gè)新的擴(kuò)展，能夠在在舊擴(kuò)展失敗之處通過(guò)考驗(yàn)。

 

奇異歐拉-麥克勞林展開(kāi)式

 

我們現(xiàn)在改進(jìn)了原始的歐拉-麥克勞林展開(kāi)式，使其適用于出現(xiàn)在凝聚態(tài)物理中的奇異函數(shù)。但是，如何補(bǔ)救看似不可避免的擴(kuò)張分歧呢？我們考慮以下形式的函數(shù)f

 

 

 

其中 s(y) = | y |–v，x = ∈ ?。我們稱s為交互作用，g為插值函數(shù)。正如我們之前看到的，余數(shù)項(xiàng)的發(fā)散是由于取相互作用的導(dǎo)數(shù)而產(chǎn)生的。我們接下來(lái)的策略是避免這些導(dǎo)數(shù)，取而代之的是采用函數(shù)g 的導(dǎo)數(shù)。相互作用包含在這些導(dǎo)數(shù)的系數(shù)中。這些系數(shù)是由周期性伯努利函數(shù)的泛化形成的，我們稱之為伯努利-A 函數(shù)。

 

我們使用Mathematica對(duì)Hurwitz zeta函數(shù)的高效實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了ref.[1]的eq.(12)中給出的伯努利-A函數(shù):  

 

 

 

對(duì)于z∈?，伯努利- a函數(shù)在極限v→z中仍然有很好的定義:

 

 

 

奇異歐拉-麥克勞林(SEM)展開(kāi)式如下:  

 

 

 

如果函數(shù)g有足夠的帶限，那么這個(gè)擴(kuò)展的誤差——如果我們丟棄余數(shù)積分——在擴(kuò)展順序中呈指數(shù)下降。因此，我們?cè)O(shè)法創(chuàng)建了一個(gè)新版本的歐拉-麥克勞林展開(kāi)式，它可以應(yīng)用于具有奇點(diǎn)的函數(shù)。

 

讓我們看第一個(gè)例子。

 

應(yīng)用的第一步：Euler-Mascheroni 常數(shù)

奇異歐拉-麥克勞林展開(kāi)式的第一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用是計(jì)算著名的Euler-Mascheroni 常數(shù)γ，它在 Mathematica 中作為EulerGamma 實(shí)現(xiàn)。人們對(duì)這個(gè)難以捉摸的數(shù)量知之甚少。例如，γ 是否是無(wú)理數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)懸而未決的問(wèn)題：

 

 

 

它的值是一個(gè)和與一個(gè)積分之間的差的極限：

 

 

然后我們可以將 SEM 擴(kuò)展應(yīng)用于和與積分之間的差異，它僅由零階貢獻(xiàn)組成：

 

 

 

y = N + 1處的評(píng)估在N → ∞極限處消失，y = 1處的值產(chǎn)生所需的結(jié)果：

 

 

 

讓我們認(rèn)真起來(lái)：疇壁中的遠(yuǎn)程力

為了演示膨脹的性能，我們將其應(yīng)用于具有長(zhǎng)程相互作用的一維晶體內(nèi)部力的計(jì)算：

 

 

 

在前面的插圖中，我們看到晶體中有一種特殊的密度調(diào)制，稱為疇壁。這個(gè)寬度為 λ 的疇壁將粒子從它們的平衡位置（虛線圓圈）移開(kāi)。它構(gòu)成了具有晶體有序性的區(qū)域之間的邊界，其中粒子具有相等的距離。

 

為什么疇壁與現(xiàn)代科學(xué)相關(guān)？好吧，疇壁出現(xiàn)在分層材料中。疇壁是晶體結(jié)構(gòu)中的缺陷，在新材料的設(shè)計(jì)中非常重要，因?yàn)樗鼈兊拇嬖诳梢愿淖兊讓硬牧系奶匦裕缙鋸椥曰螂娞匦?。我們現(xiàn)在的目標(biāo)是計(jì)算周圍所有粒子對(duì)紅色粒子施加的力。如果晶體由大量粒子組成，則力計(jì)算帶來(lái)了極具挑戰(zhàn)性的數(shù)值問(wèn)題。

 

在我們處理數(shù)值任務(wù)之前，我們首先需要指定疇壁的輪廓，它描述了粒子從等距網(wǎng)格的位移。 我們將選擇一個(gè)位移函數(shù)插值在0和1之間的疇壁，它對(duì)應(yīng)于鏈中的離域粒子孔。

 

疇壁的位移函數(shù)以 0 為中心，通過(guò)對(duì)寬度為 λ 的歸一化洛倫茲積分從負(fù)無(wú)窮大到y(tǒng) 來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而獲得在 0 (–∞) 和 1 (+∞) 之間插值的函數(shù)：

 

 

 

 

然后我們計(jì)算力總和：

 

 

 

去除物理尺寸后，我們發(fā)現(xiàn)

 

 

 

和

 

 

 

我們現(xiàn)在的策略是將被加函數(shù)分解為奇異因子s和平滑函數(shù)因子g

 

 

 

和

 

 

 

我們假設(shè)位移足夠小，使得粒子保持有序（因此g中括號(hào)中的項(xiàng)始終為正，不需要絕對(duì)值）。下面，我們考慮帶電粒子之間的庫(kù)侖力 ( v = 1)。請(qǐng)注意，我們沒(méi)有應(yīng)用任何力的線性化，因?yàn)槲覀兊姆椒ㄒ餐耆m用于非線性函數(shù)g。

 

我們定義了交互作用s的函數(shù)、插值函數(shù)g和相應(yīng)的函數(shù)f。一個(gè)小的數(shù)值偏移被添加到v 0的值中以簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)：

 

 

 

我們隨后指定晶體和疇壁的大小。在第一種情況下，我們選擇了 2,000 個(gè)粒子的微觀晶體和 10 個(gè)原子距離的疇壁寬度。在第二個(gè)例子中，我們將探討如果晶體的宏觀尺寸為 2 × 10¹⁰粒子，疇壁寬度為 λ = 10⁵，會(huì)發(fā)生什么情況：

 

 

 

在物理學(xué)界，力和通常簡(jiǎn)單地用積分代替。現(xiàn)在讓我們研究在這兩種情況下，這個(gè)積分近似如何準(zhǔn)確地再現(xiàn)力。  

 

我們首先為各自的力生成表格。

 

積分近似與宣泄的危機(jī)

下圖比較了通過(guò)精確求和獲得的力與積分近似值。

 

我們顯示了精確的力（藍(lán)點(diǎn)）和使用細(xì)觀鏈的積分近似（橙色線）計(jì)算的力：

 

 

 

 

精確求和與積分近似值都顯示了粒子被拉向疇壁的定性行為。這是有道理的，因?yàn)楫牨谑且粋€(gè)離域粒子孔，其他粒子傾向于重新填充。然而，從上圖中可以清楚地看出，積分方法嚴(yán)重低估了力的絕對(duì)值。因此，它只能用于定性，而不能用于任何類型的定量預(yù)測(cè)。小的修正會(huì)對(duì)材料特性產(chǎn)生相當(dāng)大的影響。為了精確預(yù)測(cè)，需要比積分近似更好的方法。我們現(xiàn)在證明使用我們的 SEM 擴(kuò)展可以大大提高積分的精度。

 

從積分近似到 SEM 實(shí)際上非常簡(jiǎn)單。我們只需要實(shí)現(xiàn)局部SEM微分算子

 

 

 

并且必須在集成的邊界處對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)估。

 

我們使用我們之前展示的伯努利-A 實(shí)現(xiàn)和 Mathematica 的自動(dòng)微分功能來(lái)定義 SEM 算子：

 

 

 

我們使用積分偏移δ0 = 1的一階SEM展開(kāi)。

 

設(shè)置膨脹參數(shù)并定義力總和的 SEM 近似值：

 

 

 

我們?cè)俅斡?jì)算力的近似值，但現(xiàn)在進(jìn)行了額外的 SEM 校正。

 

我們使用域壁寬度的適當(dāng)重新縮放來(lái)計(jì)算力總和的 SEM 近似值。ParallelTable允許并行執(zhí)行計(jì)算：

 

 

 

最后，我們將精確力（藍(lán)點(diǎn)）與積分近似（橙線）和 SEM 擴(kuò)展（紅線）進(jìn)行比較：

 

 

 

僅使用一階 SEM，這相當(dāng)于僅計(jì)算g的單個(gè)導(dǎo)數(shù)，我們達(dá)到的精度使 SEM 近似值與精確結(jié)果在視覺(jué)上無(wú)法區(qū)分。請(qǐng)記住，校正是局部性質(zhì)的，可以很容易地計(jì)算出來(lái)。因此，我們現(xiàn)在可以計(jì)算更大的粒子數(shù)，而通過(guò)求和來(lái)計(jì)算精確的力是不可能的。

 

宏觀任務(wù)

我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)到宏觀系統(tǒng)，計(jì)算由 2 × 10¹⁰ 粒子和寬度為 λ = 10⁵的疇壁組成的晶體中的力。

 

顯示了從 SEM 擴(kuò)展（藍(lán)線）和積分近似（橙線）計(jì)算的宏觀晶體中的力：

 

 

 

在這里，積分近似（橙色）和 SEM 擴(kuò)展（藍(lán)色）都保持可計(jì)算，因?yàn)閮烧叨急憩F(xiàn)出不依賴于系統(tǒng)大小N的運(yùn)行時(shí)間。然而，對(duì)精確總和的評(píng)估在數(shù)值上變得不可行。我們看到，即使N是宏觀的（在 10 ^–10 m的典型粒子間距離處，晶體將有兩米長(zhǎng)），積分近似和 SEM 擴(kuò)展之間仍然存在顯著差異。在這里，我們看到了一個(gè)非常有趣的效果，即具有庫(kù)侖相互作用的一維系統(tǒng)中的有限尺寸校正在所有尺度上都保持相關(guān)并且永遠(yuǎn)不會(huì)被真正忽視。

 

總結(jié)

自從歐拉和麥克勞林提出求和公式的第一個(gè)版本以來(lái)，已經(jīng)過(guò)去了幾個(gè)世紀(jì)。我們現(xiàn)代版本的擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)了對(duì)現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生影響的這一承諾：解決關(guān)于如何在從離散到連續(xù)的過(guò)程中正確處理奇點(diǎn)的開(kāi)放性問(wèn)題。